Ejercicio · ZW-ORBITA-Y-ESTABILIZADOR-008 · ★★☆ Intermedio
Si \(y=g\cdot x\) en una acción de \(G\), ¿cuál es el estabilizador de \(y\) en términos del de \(x\)?
Elige una opción.
Ver respuesta
- A. \(g\,\mathrm{Est}(x)\,g^{-1}\)
Explicación
Si \(h\cdot x=x\), entonces \((ghg^{-1})\cdot y=g\cdot(h\cdot x)=g\cdot x=y\). Esto da una inclusión, y con \(g^{-1}\) la otra: \(\mathrm{Est}(y)=g\,\mathrm{Est}(x)\,g^{-1}\). Los puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados, no necesariamente iguales.
Repasa el concepto: Órbita y estabilizador
Si un grupo \(G\) actúa sobre un conjunto \(X\), la órbita de \(x\in X\) es el conjunto de todas sus imágenes \(g\cdot x\), y su estabilizador es el subgrupo de los elementos de \(G\) que lo dejan fijo.
\[\mathrm{Orb}(x)=\{g\cdot x : g\in G\},\qquad \mathrm{Est}(x)=\{g\in G : g\cdot x=x\}\]
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