\(S_4\) actúa sobre los subconjuntos de dos elementos de \(\{1,2,3,4\}\) por \(g\cdot\{a,b\}=\{g(a),g(b)\}\). ¿Cuántos elementos tiene el estabilizador de \(\{1,2\}\)?
Un \(g\) fija \(\{1,2\}\) si manda \(\{1,2\}\) a sí mismo (\(2\) maneras) y entonces también \(\{3,4\}\) a sí mismo (\(2\) maneras): \(2\cdot2=4\) elementos.
Si un grupo \(G\) actúa sobre un conjunto \(X\), la órbita de \(x\in X\) es el conjunto de todas sus imágenes \(g\cdot x\), y su estabilizador es el subgrupo de los elementos de \(G\) que lo dejan fijo.
\[\mathrm{Orb}(x)=\{g\cdot x : g\in G\},\qquad \mathrm{Est}(x)=\{g\in G : g\cdot x=x\}\]