Ejercicio · ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-001 · ★☆☆ Básico
Sea \(\varphi:\mathbb{Z}_{12}\to\mathbb{Z}_{12}\) dado por \(\varphi(x)=3x\). ¿Cuántos elementos tiene la imagen de \(\varphi\)?
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- C. 4
Explicación
El núcleo es \(\{0,4,8\}\), de 3 elementos. Por el primer teorema, \(|\operatorname{im}\varphi|=12/3=4\) (la imagen es \(\{0,3,6,9\}\)). El 3 es el tamaño del núcleo, no de la imagen.
Repasa el concepto: Primer teorema de isomorfismo
Todo homomorfismo de grupos \(\varphi:G\to H\) induce un isomorfismo entre el cociente de \(G\) por el núcleo de \(\varphi\) y la imagen de \(\varphi\).
\[G/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(G),\qquad a\ker\varphi\mapsto\varphi(a)\]
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