Ejercicio · ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-009 · ★★★ Avanzado
Sea \(\varphi:\mathbb{Z}_{36}\to\mathbb{Z}_{36}\) dado por \(\varphi(x)=9x\). ¿Cuál es el par \((|\ker\varphi|,\,|\operatorname{im}\varphi|)\)?
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- C. \((9,4)\)
Explicación
Se cumple \(9x\equiv0\pmod{36}\) si y solo si \(4\mid x\), lo que da 9 elementos en el núcleo; la imagen \(\{0,9,18,27\}\) tiene 4. Los tamaños cumplen \(36=|\ker\varphi|\cdot|\operatorname{im}\varphi|\), pero el orden del par importa.
Repasa el concepto: Primer teorema de isomorfismo
Todo homomorfismo de grupos \(\varphi:G\to H\) induce un isomorfismo entre el cociente de \(G\) por el núcleo de \(\varphi\) y la imagen de \(\varphi\).
\[G/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(G),\qquad a\ker\varphi\mapsto\varphi(a)\]
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