Ejercicio · ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-007 · ★★☆ Intermedio
Sea \(\varphi:\mathbb{Z}_{15}\to\mathbb{Z}_{15}\) dado por \(\varphi(x)=6x\). ¿Cuántos elementos tiene \(\ker\varphi\)?
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- A. 3
Explicación
La condición \(6x\equiv0\pmod{15}\) equivale a \(2x\equiv0\pmod5\), es decir, \(x\in\{0,5,10\}\). La imagen es \(\{0,3,6,9,12\}\), con 5 elementos, y \(15/5=3\) confirma el tamaño del núcleo.
Repasa el concepto: Primer teorema de isomorfismo
Todo homomorfismo de grupos \(\varphi:G\to H\) induce un isomorfismo entre el cociente de \(G\) por el núcleo de \(\varphi\) y la imagen de \(\varphi\).
\[G/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(G),\qquad a\ker\varphi\mapsto\varphi(a)\]
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