Ejercicio · ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-006 · ★★☆ Intermedio
Sea \(\varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{10}\) dado por \(\varphi(x)=4x\bmod 10\). ¿A qué grupo es isomorfo \(\mathbb{Z}/\ker\varphi\)?
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- B. \(\mathbb{Z}_5\)
Explicación
Como \(4x\equiv 0 \pmod{10}\) equivale a \(x\equiv0\pmod 5\), el núcleo es \(5\mathbb{Z}\) y \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_5\). Coincide con la imagen \(\{0,2,4,6,8\}\), que tiene 5 elementos y no 10.
Repasa el concepto: Primer teorema de isomorfismo
Todo homomorfismo de grupos \(\varphi:G\to H\) induce un isomorfismo entre el cociente de \(G\) por el núcleo de \(\varphi\) y la imagen de \(\varphi\).
\[G/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(G),\qquad a\ker\varphi\mapsto\varphi(a)\]
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