Ejercicio · ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-008 · ★★☆ Intermedio
Sea \(\varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{12}\) dado por \(\varphi(x)=8x\bmod12\). ¿Cuál es la imagen de \(\varphi\)?
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- D. \(\{0,4,8\}\)
Explicación
Se tiene \(8x\equiv0\pmod{12}\) si y solo si \(3\mid x\), así que \(\ker\varphi=3\mathbb{Z}\) y la imagen es isomorfa a \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_3\), de 3 elementos: \(0,8,16\equiv4\).
Repasa el concepto: Primer teorema de isomorfismo
Todo homomorfismo de grupos \(\varphi:G\to H\) induce un isomorfismo entre el cociente de \(G\) por el núcleo de \(\varphi\) y la imagen de \(\varphi\).
\[G/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(G),\qquad a\ker\varphi\mapsto\varphi(a)\]
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