Ejercicio · ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-007 · ★★☆ Intermedio
¿Cuál de los siguientes grupos es cíclico?
Elige una opción.
Ver respuesta
- B. \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_8\)
Explicación
Un elemento \((a,b)\) genera todo \(\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n\) solo si su orden \(\operatorname{mcm}\) alcanza \(mn\), lo que exige \(\gcd(m,n)=1\). Aquí \(\gcd(3,8)=1\), mientras que los otros tres pares de módulos comparten un factor 2 o 3.
Repasa el concepto: Producto directo de grupos
El producto directo \(G\times H\) de dos grupos \(G\) y \(H\) es el conjunto de pares \((g,h)\), con \(g\in G\) y \(h\in H\), con la operación definida componente a componente.
\[(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,\;h_1h_2)\]
Más ejercicios de producto directo de grupos
- ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-001 ¿Cuántos elementos tiene ℤ_4×ℤ_6?
- ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-002 ¿Cuál es el elemento neutro de ℤ_5×ℤ_7 con la suma componente a componente?
- ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-003 En ℤ_6×ℤ_4, calcula (2,3)+(5,2).
- ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-004 ¿Cuál es el inverso de (3,2) en ℤ_7×ℤ_5?
- ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-005 ¿Cuándo es abeliano el producto directo G× H?
- ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-006 ¿Cuál es el orden de (3,2) en ℤ_8×ℤ_12?
- ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-008 ¿Cuántos elementos de orden 2 tiene ℤ_2×ℤ_2?
- ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-009 ¿Cuántos elementos de orden 3 hay en ℤ_3×ℤ_3?
← ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-006 ZW-PRODUCTO-DIRECTO-DE-GRUPOS-008 →