Ejercicio · ZW-SUBGRUPO-NORMAL-002 · ★☆☆ Básico
En \(S_3\), ¿cuál de estos subgrupos es normal?
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- D. \(\langle(1\,2\,3)\rangle\)
Explicación
El subgrupo \(\langle(1\,2\,3)\rangle=\{e,(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}\) tiene índice 2, y al conjugar un ciclo de longitud 3 siempre se obtiene otro ciclo de longitud 3 de ese mismo subgrupo. Los subgrupos generados por transposiciones no son normales: conjugar mueve una transposición a otra.
Repasa el concepto: Subgrupo normal
Un subgrupo normal es un subgrupo \(N\) de un grupo \(G\) que coincide con todos sus conjugados por elementos \(g\in G\).
\[gNg^{-1}=N\ \ \forall g\in G\]
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