Ejercicio · ZW-SUBGRUPO-NORMAL-004 · ★☆☆ Básico
Si \(N\) es un subgrupo de \(G\) con \([G:N]=2\), ¿qué se puede asegurar?
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- A. \(N\) es normal en \(G\)
Explicación
Con índice 2 hay solo dos clases laterales por cada lado, y la que no es \(N\) es el resto de \(G\): \(gN=G\setminus N=Ng\) cuando \(g\notin N\). Por tanto \(gN=Ng\) siempre y \(N\) es normal; no se deduce nada más (en \(S_3\), \(A_3\) tiene índice 2 y \(S_3\) no es abeliano).
Repasa el concepto: Subgrupo normal
Un subgrupo normal es un subgrupo \(N\) de un grupo \(G\) que coincide con todos sus conjugados por elementos \(g\in G\).
\[gNg^{-1}=N\ \ \forall g\in G\]
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