Ejercicio · ZW-SUBGRUPO-NORMAL-009 · ★★★ Avanzado
Un subgrupo \(H\) de \(G\) es el único subgrupo de \(G\) con \(|H|\) elementos. ¿Qué se concluye?
Elige una opción.
Ver respuesta
- B. \(H\) es normal en \(G\)
Explicación
Para cada \(g\), el conjunto \(gHg^{-1}\) es un subgrupo con \(|H|\) elementos (conjugar es biyectivo), así que por unicidad es \(H\). Luego \(H\) es normal; no se concluye lo demás (en \(S_3\), \(A_3\) es el único de orden 3, y sin embargo \(S_3\) no es abeliano ni \(A_3\) está en el centro).
Repasa el concepto: Subgrupo normal
Un subgrupo normal es un subgrupo \(N\) de un grupo \(G\) que coincide con todos sus conjugados por elementos \(g\in G\).
\[gNg^{-1}=N\ \ \forall g\in G\]
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