Ejercicio · ZW-TEOREMA-ORBITA-ESTABILIZADOR-010 · ★★★ Avanzado
Un grupo de orden \(24\) actúa transitivamente sobre un conjunto de \(6\) elementos. Si \(x,y\in X\), ¿cuántos \(g\in G\) cumplen \(g\cdot x=y\)?
Elige una opción.
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- C. \(4\)
Explicación
Hay un \(g_0\) con \(g_0\cdot x=y\), y los \(g\) que lo hacen son \(g_0h\) con \(h\in\mathrm{Est}(x)\). Como \(|\mathrm{Est}(x)|=24/6=4\), son \(4\) elementos.
Repasa el concepto: Teorema órbita-estabilizador
Para un grupo finito \(G\) que actúa sobre \(X\) y un \(x\in X\), el tamaño de la órbita de \(x\) es el índice de su estabilizador en \(G\).
\[|\mathrm{Orb}(x)|=[G:\mathrm{Est}(x)]=\frac{|G|}{|\mathrm{Est}(x)|}\]
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