Ejercicio · ZW-TEOREMAS-DE-SYLOW-006 · ★★☆ Intermedio
Un grupo de orden \(21\) tiene \(n_7=1\). ¿Qué se concluye?
Elige una opción.
Ver respuesta
- C. su \(7\)-subgrupo de Sylow es normal
Explicación
Con un único \(7\)-subgrupo de Sylow, sus conjugados coinciden con él, así que es normal. No se sigue que sea cíclico (existe un grupo no abeliano de orden \(21\)) ni que el \(3\)-subgrupo sea normal, y un grupo con subgrupo normal propio no es simple.
Repasa el concepto: Teoremas de Sylow
Un grupo finito \(G\) de orden \(p^k m\), con \(p\) primo y \(p\nmid m\), tiene subgrupos de orden \(p^k\), todos conjugados entre sí; su número \(n_p\) queda restringido.
\[n_p\equiv1\pmod p,\qquad n_p\mid m\]
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