Ejercicio · ZW-ACCION-DE-GRUPO-010 · ★★★ Avanzado
Para un grupo cualquiera \(G\), ¿cuál fórmula define siempre una acción de \(G\) sobre sí mismo?
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- B. \(g\cdot x=gx\)
Explicación
Con \(g\cdot x=gx\) se cumple \(e\cdot x=x\) y \((gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\) por asociatividad. Las otras fallan en grupos no abelianos: por ejemplo, \(g^{-1}(h^{-1}x)\) no es \((gh)^{-1}x\).
Repasa el concepto: Acción de un grupo
Una acción de un grupo \(G\) sobre un conjunto \(X\) asigna a cada \(g,h\in G\) y \(x\in X\) un elemento \(g\cdot x\in X\), de modo que la identidad \(e\) no mueve nada y el producto de \(G\) actúa por composición.
\[e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\]
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