Ejercicio · ZW-SUBGRUPO-GENERADO-009 · ★★★ Avanzado
En \((\mathbb{Z}_{18},+)\), ¿cuál de los siguientes elementos genera el mismo subgrupo que \(4\)?
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- D. 8
Explicación
\(\langle 4\rangle\) son los 9 residuos pares de \(\mathbb{Z}_{18}\), pues \(\gcd(4,18)=2\). Un elemento genera lo mismo cuando su mcd con 18 también es 2: eso sucede con 8. Los de mcd 6 o 9 generan subgrupos más pequeños.
Repasa el concepto: Subgrupo generado
El subgrupo generado por un subconjunto \(S\) de un grupo \(G\) es el menor subgrupo \(H\) de \(G\) que contiene a \(S\); se denota \(\langle S\rangle\) y a \(S\) se le llama conjunto de generadores.
\[\langle S\rangle=\bigcap_{S\subseteq H\le G}H\]
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