Ejercicio · ZW-GRUPO-ABELIANO-FINITAMENTE-GENERADO-010 · ★★★ Avanzado

Sea \(G\) un grupo abeliano de orden \(36\). ¿Qué afirmación es verdadera siempre?

Elige una opción.

Ver respuesta
  • B. \(G\) tiene un elemento de orden \(6\)

Explicación

Cada candidato (con parte de orden \(4\) y parte de orden \(9\)) tiene un elemento de orden \(2\) y otro de orden \(3\), cuyo producto tiene orden \(6\). En cambio \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3\) no es cíclico ni tiene elementos de orden \(4\).

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Repasa el concepto: Clasificación de grupos abelianos finitos

Todo grupo abeliano finito \(G\) es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos \(\mathbb{Z}_{p^k}\), con \(p\) primo y \(k\ge1\), únicos salvo el orden.

\[G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_r^{k_r}}\]

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