Ejercicio · ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(\varphi:G\to H\) un homomorfismo de grupos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa en general?
Elige una opción.
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- B. \(G/\ker\varphi\cong H\)
Explicación
El cociente es isomorfo a la imagen, que es un subgrupo de \(H\) y solo coincide con \(H\) cuando \(\varphi\) es sobreyectivo. Por ejemplo, la inclusión \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\) tiene \(\mathbb{Z}/\{0\}\cong\mathbb{Z}\not\cong\mathbb{Q}\).
Repasa el concepto: Primer teorema de isomorfismo
Todo homomorfismo de grupos \(\varphi:G\to H\) induce un isomorfismo entre el cociente de \(G\) por el núcleo de \(\varphi\) y la imagen de \(\varphi\).
\[G/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(G),\qquad a\ker\varphi\mapsto\varphi(a)\]
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