Ejercicio · ZW-TEOREMAS-DE-SYLOW-010 · ★★★ Avanzado
Un grupo de orden \(12\) tiene \(n_3=4\). ¿Cuántos elementos de orden \(3\) tiene?
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- B. \(8\)
Explicación
Cada \(3\)-subgrupo de Sylow es cíclico de orden \(3\) y aporta \(2\) elementos de orden \(3\); dos de estos subgrupos distintos se intersecan en la identidad. Hay \(4\cdot2=8\) elementos. Los \(4\) restantes forman el \(2\)-subgrupo de Sylow.
Repasa el concepto: Teoremas de Sylow
Un grupo finito \(G\) de orden \(p^k m\), con \(p\) primo y \(p\nmid m\), tiene subgrupos de orden \(p^k\), todos conjugados entre sí; su número \(n_p\) queda restringido.
\[n_p\equiv1\pmod p,\qquad n_p\mid m\]
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